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高等代数入门

2016-05-03

研究对象

n元线性方程组

名词:系数矩阵,增广矩阵 二者的关系判断n元线性方程组有无解的情况

n元线性方程组->n维向量空间->线性空间->线性映射<-> 矩阵 然后n元线性方程组和矩阵的关系应该明白吧。

几何空间 线性空间没有度量,如何引入呢? 两个向量对应一个实数的桥梁是内积。 具有度量的线性空间:欧几里得空间(实数上)酉空间(复数上) 空间到自身的映射为线性变换。(投影)。 在欧几里得空间上与度量有关的变换有正交变换、对称空间;酉空间上有Hermite变换,这些都是与度量有关的变换。

一元高次方程的求根

一元多项式环的结构(配方得来的)->环的概论。

卡洛娃?证明了4次以上的一元方程没有求根公式。它引入了群的概念,近世代数研究群、环的结构。还有一个域。

教材

«高等代数–大学创新xx»丘维声,清华大学出版社

行列式

n阶行列式:= |A|,也称为矩阵A的行列式,或者dotA。 n个元素的乘积,每一项按行指标成自然序排列,当列指标的逆排列为奇数为负数。

性质

先讲一下,在行列式的定义中,为了解决每一项的正负号,我们把n个元素按行指标排 列起来,事实上,数的乘法是交换的,所以这n个元素的排序可以是任意的,则n个数排 列的符号为(-1)的套(i1i2i3…in)+套(j1j2..jn)次方.那么,将行指标排成自然 序列,则它的符号为(-1)的套(列1列2..)次方。

举个例子说明下,a21a32a14a43是4阶行列式的一项,套(2314)=2,套(1243)=1, 则(-1) ^(2+1) = -1;如按行指标排列起来,就是a14a21a32a43,套(4123)=3,符号为-1;

行指标与列指标的地位是对称的,可以把某一项按列指标排起来。

  1. 行列互换,行列式不变。

证明:综合上方,如果B是由A互换得来的,则A可以按照i行j列,B为j行i列,结合上面的推理。

  1. 行列式一行的公因子可以提出去;一行全为0,该行列式为0

证明:按照某一行展开,

dotA = ai1Ai1 + ai2Ai2 +... = ∑aijAij			[1]

其中西格玛是j从1到n。如dotA的一行如有公因式c,以[1]的右端展开不就是每一项有c 吗,所以dotA*c,得证。

  1. 行列式的某一行是两组数的和,可以其他行不变,将这两个数分开写成两个行列式 之和。

证明: 若这一行是第i行,形式为(bi+ci),则有dotA=(b1+c1)A11+(b2+c2)A22+…+ (bn+cn)Ain=(b1A11+b2A22+…+bnAin)+(c1A11+c2A22+…+cnAin)


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